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Théorie>Automobile>Transmission>Boite de vitesse

Première version: 01/05/2002
Dernière version: 2014-04-05

# La boîte de vitesses

Comme nous l'avons vu dans la partie théorie sur le moteur, celui-ci est limité en régime, sur une plage allant de 1 000 tour/minutes à 5 750 tr/min.
La roue, quand à elle, avec sa circonférence d'à peu près 1,85 m (dépendant du type de pneu) voit son régime varier de 0 tr/min à l'arrêt, jusqu'à 1080 tr/min à 120 km/h.

Il faut donc adapter le régime moteur à celui de la roue, en intercalant entre les deux un réducteur de vitesse, c'est la boîte de vitesse (BV).

Dans le même temps, le couple moteur de 50 Nm, incapable de faire bouger la deuche dans la moindre côte, est démultiplié pour obtenir un couple suffisant.

La réduction de vitesse / augmentation de couple est obtenue par la sélection de différents couples de pignons, ayant chacun leurs caractéristiques selon leur taille, leur nombre de dents, etc.

Sommaire de la page

## Présentation de l'architecture

La BV de la deuche possède en interne le différentiel, organe servant à permettre une vitesse différente des deux roues d'un même essieu. C'est pratique dans les virages ou sous l'effet du rayon de courbure la roue extérieure au virage parcourra plus de chemin dans le même temps, donc ira plus vite que la roue intérieure au virage. C'est moins pratique sur les surfaces glissantes où la roue ayant le moins d'adhérence se met à tourner folle et l'autre sur le grip s'arrête ...

Voici le schéma de principe, où les paliers et roulements sont symbolisés par : et les arbres par des segments. Les engrenages droits sont symbolisés par et les hélicoïdaux par : .

## Calcul des rapports de boite.

### Qu'est-ce que c'est?

Le rapport de réduction est utilisé pour savoir de combien est divisée la vitesse du moteur par rapport à la vitesse de la roue. Par exemple rapport de réduction de 1/21 pour une boite de Dyane 6, c'est à dire que la roue tourne 21 fois plus lentement que le moteur.

Dans le même temps, la vitesse moteur est multipliée 21 fois, de même que le couple moteur. C'est pour quoi on voit souvent les rapports exprimés en fraction (un sur quelque chose => 1/x), pour visualiser plus facilement le multiple (ex : réduction de 1/21 de la vitesse moteur, mais multiplication par 21 du couple et puissance moteur).

### Calcul du rapport

Le calcul des rapports est simple : soit We la vitesse angulaire d'entrée (en rad/s) et Ws la vitesse angulaire de sortie, si l'on symbolise par un système roue-pignon, donc le rayon Re de l'engrenage d'entrée qui tourne à la vitesse We, et Rs de l'engrenage d'entrée qui tourne à la vitesse Ws. Ce est le couple en entrée, et Cs le couple en sortie.
Nous avons la relation suivante : We/Ws=Re/Rs=De/Ds=Ce/Cs=R, R étant comme la formule l'indique un rapport de vitesses (une division de vitesses quoi!), et D étant les diamètres. R est un nombre adimensionnel, permettant de retrouver la vitesse d'entrée avec celle de sortie et inversement, de même pour les diamètres de roues.

Le rapport de boîte de vitesse est le rapport entre la vitesse angulaire du volant moteur et la vitesse angulaire en sortie de boîte de vitesse (avant le différentiel).
Le rapport total (noté démultiplication totale dans la RTA) est le rapport de la vitesse vilebrequin et de la vitesse angulaire de la roue, sachant que la vitesse angulaire de la roue est la même que celle de l'arbre de transmission et du disque de frein.

Cette partie théorique est l'explication de la modification réalisée pour les accessoires, afin de réaliser un compte-tour statique à partir du compteur de vitesse.
Un compte-tour peut être avantageusement remplacé par une connaissance de la correspondance vitesse véhicule / vitesse moteur, par l'intermédiaire des rapports de boîte.
En effet, pour un régime moteur donné, le réducteur (la boite de vitesse) fait faire à la roue un nombre de tour par minutes largement inférieur, fonction du rapport de vitesse enclenché. Si l'on multiplie ce nombre de tours par minutes de la roue par la distance qu'elle parcourt pour un tour de roue (sa circonférence pour les matheux), on a ainsi un lien direct entre le régime moteur et la vitesse véhicule.
Pour être plus clair, je vais reprendre dans le détail:
Je vais dans ma revue technique p14 et je regarde le tableau intitulé "performances". Seule la valeur de démultiplication totale m'intéresse (c'est le rapport de boite multiplié par le couple conique). Prenons le cas de la boîte de la Dyane 6 chaussée avec des pneus de 125, la voiture avançant de 1,842 mètres lorsque le pneu fait une rotation complète.
Quand je suis en première, la démultiplication totale est de 0,0465, c'est à dire que quand mon moteur fait un tour, ma roue ne fait que 0,0465 tours. Il faudra donc que mon moteur fasse 1 / 0,0465 = 21,5 tours avant que ma roue finisse son tour.

#### Transformation rpm de la roue => vitesse véhicule

Donc, pour un régime moteur de 1000 tr/min, ma roue a un "régime" de 1000 * 0,0465 = 46,5 tr/min. En multipliant par 60 minutes (soit une heure), j'obtiens un régime de roue de 2790 tr/heure. Ce qui correspond, si je multiplie par la distance parcourue sur un tour par ma roue (1,842 m / 1000 pour obtenir des km), à une vitesse de 2790 * 1,842.10-3 = 5,14 km/h. Cette valeur est dans ce cas-ci donnée dans la colonne d'à côté, mais cette information n'est pas toujours disponible. Pour la quatrième, cette vitesse en km/h pour un régime de 1000 tr/min est de 20,35 km/h. Cette vitesse sera appelée km/h@1000rpm.

Pour la rotation de la roue à une vitesse donnée, elle est bien entendue indépendante du rapport enclenché.
rotation de roue en tr/h = ( vitesse en km/h / circonférence de la roue en km ). Un tr/h se transforme en tr/min en divisant par 60. Nous obtenons donc la formule pour passer de km/h en rpm par :
Froue (tr/min) = V (km/h) / ( Dem (kms) * 60 )
Avec Froue la fréquence de rotation de la roue, V la vitesse du véhicule.
Pour connaitre la vitesse de rotation de la roue à 150 km/h, je fais :
150 / (1,842.10-3 * 60) = 1357 tr/min. Il y a donc peu de risques en 2cv de dépasser les 1400 tr/min en rotation de roue.

A partir de là, je peux calculer des points caractéristiques du régime moteur, pour savoir à quelle vitesse ils se produisent, en fonction du rapport engagé. Par exemple, en quatrième le couple optimum (là où l'on consommera le moins) sera atteint pour 4000 rpm soit :
(4000 (régime moteur désiré, en tr/min) / 1000) * [20,35 (km/h@1000rpm en 4eme)] = 81,4 km/h.
On peut aussi partir d'une vitesse pour tomber sur un régime moteur à l'aide de l'équation suivante:
70 km/h * 1000 / [20,35 (km/h@1000rpm en 4eme)] = 3440 rpm.
Dans une grande descente je me suis une fois retrouvé à 140 (pare-brise baissé, confirmé par la voiture de derrière qui indiquait 150), ce qui nous fait un régime proche de 7000 tr/min. Autant dire que ces régimes là ne sont pas du tout bon pour la longévité, et qu'il vaut mieux ne pas monter à de telles vitesse trop longtemps.
Il m'est arrivé aussi une fois de rétrograder en troisième à 60 et d'enclencher par erreur la première (sur une boîte courte de méhari, même pas un crac, comme dans du beurre), ce qui m'a fait pour un court laps de temps un régime de 12 000 tr/min!!!

Voilà, la méthode de calcul étant donnée, il vous reste à retrouver les valeurs de rapport de boîte de votre boîte de vitesse et à refaire ces calculs dans votre cas. A noter que sur le site de Jeroen Cats, l'on trouve un tableau recensant toutes les valeurs des boîtes de type A, sauf qu'elle sont données en notation anglo-saxonne. C'est à dire qu'il faut faire l'inverse pour retomber sur les données de la RTA. Par ex, un rapport de boîte de 5.203 anglais correspond à un rapport de 1 / 5.203 = 0,1922. Reste à multiplier par le couple conique pour tomber sur la démultiplication totale. par exemple, on peut obtenir le tableau suivant (sous excel pour simplifier les calculs), pour la boîte route (8/33) ayant équipée les 2cv6 depuis 1970 (valeurs approchées à 50 tr/min près, afin de mieux voir l'évolution linéaire du régime tous les 5 kms):

rapport enclenché | 1 | 2 | rapport enclenché | 3 | 4
km/h @ 1000 rpm | 5,14 | 10,08 | km/h @ 1000 rpm | 14,99 | 20,35
à 10 km/h | 2 000 rpm | 1 000 rpm | à 10 km/h | 700 rpm | 400 rpm
20 km/h | 4 000 rpm | 2 000 | 20 km/h | 1 300 | 900
30 km/h | 6 000 | 3 000 | 30 km/h | 2 000 | 1 400
35 km/h | 7 000 | 3 500 | 35 km/h | 2 300 | 1 700
40 km/h | 8 000 | 4 000 | 40 km/hv | 2 700 | 1 900
45 km/h | 9 000 | 4 500 | 45 km/h | 2 000 | 2 200
50 km/h | 9 750 | 5 000 | 50 km/h | 3 300 | 2 400
55 km/h | 10 700 | 5 500 | 55 km/h | 3 700 | 2 700
60 km/h | 11 680 | 6 000 | 60 km/h | 4 000 | 2 900
65 km/h |  | 6 500 | 65 km/h | 4 300 | 3 200
70 km/h |  | 7 000 | 70 km/h | 4 700 | 3 400
75 km/h |  | 7 500 | 75 km/h | 5 000 | 3 700
80 km/h |  | 8 000 | 80 km/h | 5 300 | 3 900
85 km/h |  |  | 85 km/h | 5 700 | 4 200
90 km/h |  |  | 90 km/h | 6 000 | 4 400
95 km/h |  |  | 95 km/h | 6 300 | 4 700
100 km/h |  |  | 100 km/h | 6 700 | 4 900
105 km/h |  |  | 105 km/h | 7 000 | 5 200
110 km/h |  |  | 110 km/h | 7 300 | 5 400
115 km/h |  |  | 115 km/h | 7 700 | 5 700
120 km/h |  |  | 120 km/h | 8 000 | 5 900
125 km/h |  |  | 125 km/h |  | 6 200

J'ai simplifié les résultats afin d'en tirer les lois de conversions suivantes, pour retrouver rapidement le régime moteur à partir de la vitesse de la voiture et de la vitesse enclenchée:
- En 1ère, on multiplie par deux la vitesse puis de rajouter 2 zéros à la vitesse pour avoir le régime moteur.
- En 2nde, on s'aperçoit qu'il suffit de rajouter 2 zéros à la vitesse pour avoir le régime moteur.
- En 3ème, le chiffre des centaines prend les valeurs suivantes à chaque incrément de vitesse de 5 km/h : 0, puis 3, puis 7. Si la vitesse augmente encore de 5 km/h, le chiffre repasse à 0. Par exemple: à 60 km/h, nous sommes à 4 000 tr/min. Si l'on monte de 5 km/h, le chiffre des centaines passe de 0 à 3, ce qui fait que à 65 km/h, nous sommes à 4 300 tr/min.
- En 4ème, le chiffre des centaines prend les valeurs suivantes à chaque incrément de vitesse de 5 km/h : 2, puis 4, puis 7 et enfin 9.
Comme pour la troisième et la quatrième la conversion automatique n'est pas évidente, mieux vaut marquer sur le compteur de vitesse les correspondances, en haut pour le quatrième rapport, en bas pour le troisième.
Nous voilà donc avec un compte-tour bon marché et précis à 50 tr/min près, ce qui n'est pas mal comparé aux comptes tours numériques précis à seulement 100 tr/min près.

En vert, les chiffres relatifs au troisième rapport, et en rouge ceux de la 4eme vitesse. En bas sont rappelés, pour les deux derniers rapports, les incréments de la centaine de rpm prise lorsque qu'on augmente de 5 km/h la vitesse.
On aurait pu simplifier pour la quatrième vitesse que le régime moteur est la moitié de la vitesse (divisé par 2 et multiplié par 100, 5000 tr/min pour 100 km/h, 3000 tr/min pour 60 km/h, etc.)

Quelques données de calcul supplémentaires :

R14" = 14 x 25.4 = 355.6 mm
Talon du pneu : 65% de 155 mm = 100.75 mm
Diamètre du pneu : 355.6 + (2 x 100.75) = 557.1 mm = 0.5571 m
Périmètre du pneu : 3.1416 x 0.5571 = 1.75 m
Démultiplication du pont : 8/31 = 0.258
Démultiplication de la boîte : 19/27 = 0.704
Démultiplication totale : 0.258 x 0.704 = 0.1816
Vitesse maxi de rotation du moteur : 7800 tr/mn = 130 tr/s
Vitesse de rotation de la roue : 130 x 0.1816 = 23.608 tr/s
Vitesse de l'auto : 23.608 x 1.75 = 41.314 m/s = 148.7 km/h
C'est une valeur théorique car le diamètre du pneu n'est pas constant.
Au départ, il est affaissé par le poids de l'auto et à pleine vitesse, il est soumis à la force centrifuge.
Donc retirer à ces calculs de 2 à 5%, fonction de la souplesse du pneu de sa tenue à chaud, etc. 1mm en moins sur le pneu provoque déjà 1% en moins. (merci à AZKLM et à John)

## Différentiel

Voici le schéma de principe du différentiel, comme vu plus haut avec la BV.

Le but est de permettre à la roue extérieure au virage, qui peut avoir 30% de longueur à faire de plus que la roue intérieure, d'aller plus vite que la roue ayant moins de distance à parcourir dans le même temps.

## Rendement

Les pignons sont développés en developpante de cercle, c'est à dire la trajectoire d'une droite sur un cercle sans glisser. Ca se traduit par des pignons qui appuient l'un sur l'autre sans frottements parasites, éliminant l'usure et les pertes de rendement. Mais ça c'est la théorie, dans la pratique il y a toujours un peu de pertes (déformations du métal, déplacement de l'huile, glissements parasites, etc.).

Le rendement d'une boîte de vitesse est estimé comme perdant 2% par couple d'engrenage (correspondant aux frottements entre la roue et le pignon).

Les pignons de la deuches sont hélicoïdaux, pour mieux transmettre le couple sans bruit. Mais comme ils sont chers à produire, les voitures modernes ont des pignons droits. Les hélicoïdaux engendrent aussi une poussée latérale qui doit se traduire par des pertes supplémentaires.

Un couple cônique "aurait" (difficile de trouver des infos fiables) un rendement de 25%, dû à la poussée axiale à appliquer au pignon pour qu'il plaque contre la grande roue, ce qui se traduit par plus de frottements. En 2014, certains couples coniques à l'angle bien calculé arriveraient à 90% de rendement, mais ce n'est surement pas le cas de la deuche.

Sur la deuche, ce couple cônique est nécessaire car l'axe de rotation du moteur est longitudinal (dans l'axe de la voiture) et doit être transmis aux roues dont l'axe de rotation est transversal (à 90° de l'axe moteur) d'ou la nécéssité d'un renvoi d'angle (le couple cônique).

Sur les motos BMW à cardans, il y a un ou 2 couples coniques suivant la sortie du moteur, et du coup une plus grosse perte de puissance qu'avec des chaînes. seul l'absence d'entretien justifie cette solution, qui tend à disparaitre avec l'efficacité énergétique.

Sachant qu'il faut passer de l'arbre primaire à secondaire, puis passer sur l'arbre de sortie et enfin dans le couple conique du différentiel, ça fait 0.98*0.98*0.75 = 72% de rendement. C'est estimé à la louche et je n'ai pas trouvé de valeurs corroborant ce calcul.

Pour le vérifier expérimentalement, on compare la puissance en sortie de moteur à celle en sortie de roue. Si le rendement est de 72%, on trouve par exemple 22kW en sortie de moteur, et 15,84 kW à la roue. Une sacré perte pour un moteur déjà bien faiblard. Surtout que toute cette énergie perdue se retrouve en chaleur dans la l'huile de boite de vitesse.

D'après les calculs fait dans le classeur des couples et puissances, je trouve plutôt un rendement de 90% (où alors la méhari aurait un CX de 0,38...). La question du rendement d'une BV de deuche reste donc ouverte...

Le rendement total de la BV dépend du rapport enclenché. Plus le rapport est élevé, meilleur est le rendement.

à suivre...