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Nature Humaine
Théorie & Technique>Mathématiques

Première version: 30/04/2010
Dernière version: 2016-11-05

Présentation des mathématiques

Sommaire de la page


A quoi ça sert ?

La réalité est trop difficile à appréhender pour notre cerveau, il faut donc la modéliser pour mieux la comprendre, une fois modélisée on peut simplifier le modèle puis trouver les solutions qui permettent de donner le meilleur rendement au modèle, grâce à des outils mathématiques.

Les Mathématiques ne sont donc que des outils pour travailler sur une version modélisée de la réalité.

Les grands domaines des mathématiques

Il y a 2 grand domaines, la géométrie, une méthode visuelle, et l'algèbre, une méthode abstraite. La géométrie est plus facile pour les calculs faits par informatique, il y a moins de conditions aux limites à gérer.

La règle des proportions

Une des bases des mathématiques est le théorème de Thalès, qui gagnerait à être appelé la règle des proportions. Cette règle nous a donné la règle de trois, un outil très puissant du moment qu'on arrive à montrer que l'on compare 2 choses identiques mais de dimensions différentes. Ainsi, pour calculer une consommation d'essence, on sait que sur 456 kms on a consommé 20 litres, et on montre que ce résultat peut se ramener à l'unité (soit en volume comme aux états-Unis, soit en distance comme ailleurs) car la consommation instantanée est la même. On applique donc la règle des proportions :
soit x1 le nombre de litres consommés sur y1 kilomètres. Je veux connaitre le nombre de litres x2 consommés sur y2, mon unité de calcul. En France, on ramène l'unité de calcul à 100 kms. Soit y2 = 100 kilomètres. Que je fasse y2 kms ou y1 kms, la consommation reste  identique (c'est à dire que le nombre de kilomètres parcourus est proportionnel au nombre de litres consommés).
Je pose donc :
x1 = k.y1, donc en toute chose identique x2 = k.y2, en sachant que y2 = 100 kms. Donc k = x2/100.
si je remplace dans la première équation, avec x1 = 20 l et y1 = 456 kms, ça me donne :
20 = (x2 / 100).456 => x2 = 20 / 4.56 = 4,39 l / 100.
Le piège est de bien se rappeler après tous les méandres de simplification des calculs que le signe x2 veut dire que c'est ce qu'on cherche, en l'occurrence la consommation d'essence pour 100 kms.

quand j'écris x1 = k.y1, j'écris une fonction, ici de proportionnalité.
Dans une fonction, il est important de retenir ceci : le signe "=" implique que le côté à gauche, appelé membre, est égal en valeur au membre de droite.
Ainsi, si j'écris a+b = c+d, je ne peut pas avoir a= 1 et b= et c=2 et d = 2 car ça me ferait 2 = 4... Il y a donc des conditions aux valeurs possibles que peuvent prendre a, b, c et d. Mais nous verrons ça dans la partie sur l'algèbre.
k est un coefficient de proportionnalité, donc si x1 augmente y1 augmente k fois plus vite. k peut être constant ou variable (c'est à dire qu'il est paramétré), il a forcément une unité, pour que l'équation x& = k.y1 soit équilibrée. Réécrivons cette équation en unité :
l = ??.km => l/km = ??, donc l'unité de k est des l/km.

Tiens, au fait, quand on fait :
3x = 5y + 4 et qu'on veut exprimer y plutôt que x, je suis sûr que comme moi on vous à appris à l'école, par fainéantise, à passer le 4 de l'autre côté, et à passer le 5 aussi de l'autre côté mais en dessous. ça nous donne 3x - 4 = 5y puis (3x - 4) / 5 = y.
C'est pratique mais pas top pour bien comprendre ce qu'il se passe. En fait, souvenez-vous toujours que les 2 membres de chaque côté du symbole "=" doivent être égaux à tout moment.
Le ralenti de l'opération est le suivant :
Si les 2 côtés sont égaux, si j'enlève 4 aux 2 membres ils seront toujours égaux (même si de 14 = 14 je passe à 10 = 10, la condition d'égalité est toujours respectée).
Je fait donc (3x) - 4 = (5y + 4) - 4 => 3x - 4 = 5y
Ensuite, si je divise les 2 membres par 5, l'égalité est toujours respecté, même si je passe de 10 = 10 à 2 = 2.
Je fais donc : (3x - 4) / 5 = (5y) / 5 => (3x - 4) / 5 = y

Fonction

Dans une fonction, les 2 membres doivent avoir la même valeur. De chaque côté du signe "=", c'est "la même chose".

Par exemple, dans y=2, ça veut dire y et 2 sont la même chose, donc que la valeur de y est 2 si on veut satisfaire le signe =. Ca peut paraitre con mais je suis allé en bac + 6 sans avoir compris ça, merci l'éducation nationale française... Et il parait que depuis 15 ans le niveau à encore baissé...

Statistiques

Quand on ne peut modéliser quelque chose parce que c'est trop complexe à maitriser tous les facteurs ou qu'il y a trop de choses à calculer (comme savoir comment va se comporter un volume d'eau de la taille d'un océan juste en calculant les chocs entre chaque molécules le composant), on peut utiliser l'outil statistique pour en tirer une prédiction approchant, ce n'est pas une valeur exacte qu'on va en tirer mais une valeur approchée, qui de temps en temps sera fausse mais la plupart du temps pas trop loin de la réalité, et sur la durée les prédictions seront assez justes.

Probabilité

La probabilité qu'un évènement se produise, cet évenement étant lié à quelque chose d'inconnu pour nous (par exemple le hasard), se calcule de la façon suivante :

P(A) = nombre de choix possible / nombre total d'emplacements

Par exemple, la probabilité de trouver une bille sous 3 pots opaques est de 1/3 si je ne peux retourner que 1 pot, 2/3 si je peux retourner 2 pots, et 3/3 (soit 1) si je peux retourner les 3 pots (c'est à dire que j'ai 100 % de chances de gagner).

Si je suis un filou, je vais profiter de cette connaissance pour lancer un jeu où je ne laisse les joueurs n'avoir droit qu'à un seul essai. Statistiquement, je vais gagner dans 2/3 des cas (l'opposé de celui du joueur). Même si 3 joueurs ont un gros coup de pot et découvrent la bille au premier essai, 7 autres ne vont pas découvrir la bille et au final c'est moi qui gagne. C'est le principe du loto, chaque tirage un gagnant, l'organisateur du loto! 100 % des perdants ont tenté leur chance!

Formule de Bayes

Sciences et Vie novembre 2012, p48

Formulation

Ecrite vers 1750, largement utilisée depuis 2000, elle peut s'appliquer à n'importe quel phénomène. Elle utilise les probabilité d'un évènement :

P(A|B) = P ( B / A ) P ( A ) P ( B )

avec

Cette formule sert à quantifier le lien entre l'évènement A (effet) et l'évènement B (cause). Si P(A|B) est faible, B à peu d'incidence sur A. Plus on emmagasine du savoir (les évènements B) plus on connait (ou du moins on peut prévoir) les évènements A.

Nombre d'observations

Les nombreuses observations sur l'évenement B nous permettent de connaitre sa probabilité, et pas la suite celle de A sachant B réalisé. Même si on n'a aucun modèle de A, la formule de Bayes permet de déterminer les causes influant sur A, donc les paramètres du modèle de A. En statistiques, les causes enchevêtrées sont appelées paramètres corrélés.

Les statistiques marchent très mal quand on n'a pas de mesures en quantité suffisantes.

Pour exemple, on a un phénomène complexe (évènement A) ne pouvant prendre que 2 valeurs (par exemple, il pleut (valeur 1) ou il ne pleut pas (valeur 0). Ce phénomène dépend de n paramètres (évènements B) que l'on ne connait pas. Il faut 2 exposants n (2*2*2*.. et cela n fois) observations successives pour faire apparaitre les causes.

Dans le cas d'un cancer (évènement soit on a le cancer, soit on ne l'a pas) dépendant de 100 gènes, il faudrait 2100 observations c'est à dire plusieurs milliers de milliards de milliards de milliards de patients atteints de ce cancer. C'est impossible.

Il faut donc au chercheur ne sélectionner que quelques paramètres plausibles, et construire avec ces quelques paramètres un modèle de l'évènement. Ou alors passer chaque paramètre dans la formule de Bayes pour déterminer le rôle de chacun dans l'évènement A.

Pour décrypter le réseau des causes du phénomène A, il suffit de mettre la formule elle-même en réseau : on aligne des centaines de formules de Bayes pour rendre compte des multiples causes d'un phénomène complexe.

Quand on ignore les causes d'un phénomène, on construit un modèle basé sur nos connaissances a priori de ce que pourraient en être les causes. On relie ces causes entre elles, comme les noeuds d'un réseau, en assignant à chacun des liens qui joignent les noeuds une probabilité a priori basée sur nos estimations ou celles d'experts. Dit d'une autre manière, chaque noeud du réseau (une cause estimée du phénomène) est relié à un autre via la formule de Bayles. Si la cause x dépend à 80 % de la cause y, mais que la cause x n'intervient qu'à 5% sur le phénomène, au final la cause y n'intervient qu'à 0.05*0.8=4% dans le phénomène.

Le modèle bayesien est traduit en programme informatique, il est alimenté par les données d'observation, les probabilités sont recalculées à chaque nouvelle observation et le modèle s'affine de plus en plus en plus au fur et à mesure de la collecte d'infos.

Ca nous permet de modéliser des phénomènes complexes, même lorsque les observations sont insuffisantes ou noyées dans du bruit parasite. C'est en quelque sorte une synthèses entre le dire des experts et les données brutes de l'observation, même lorsque les observations sont en nombre insuffisants ou noyées dans un fort bruit parasite. La connaissance comble la lacune des mesures. Elle ne nous parle pas du monde, mais de ce que nous en savons.

Exemples d'application

On peut ainsi montrer que la disparition des ours des cavernes est bien lié au dévelopement de l'homme, mais que c'est le climat qui est la cause de la disparition du boeuf musqué. Pour les prédictions de tsunamis, les modèles classiques ne peuvent qu'affirmer si oui ou non il y aura un tsunami, mais au prix d'une grosse récolte de donnée qui prends du temps (souvent finie quand le tsunami arrive). Les statistiques Bayesiennes permettent d'évaluer la probabilité de formation d'un tsunami au fur et à a mesure que les données sismiques arrivent, permettant de gagner quelques précieuses minutes (il peut n'y avoir que 5 minutes entre les premiers signes de séisme et le tsunami. Pour les maladies génétiques, il est possible de trouver les gènes ou combinaison de gènes à l'origine d'une augmentation du risque d'apparition.

Permet de faire le tri dans les différents modèles climatiques, de comprendre le raisonnement humain qui sans le savoir explorent et comprennent le monde en utilisant les propriétés Bayesiennes. C'est pourquoi elle pourrait aider dans l'intelligence artificielle (ce vieux rêve de remplacer des hommes pouvant se rebeller par des machines dociles).

Les chiffres romains

L'écriture romaine des chiffres est limitée à 4999, et cette méthode est anti-mathématique, très peu logique. Seuls les occultistes schizophrènes qui veulent tout coder pour cacher aux non initiés peuvent encore y voir un intérêt. Personnellement dès que je le peu j'utilise la notation arabe pour noter les siècles et les chapitres, dernier endroit de la langue française où le notation romaine est utilisée.

Liste des chiffres

Seuls les 1 et les 5 sont écrits, avec une lettre différente au lieu de rajouter une position.

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Technique d'alignement des chiffres

S'il y a très peu de chiffres disponibles, il faut donc en aligner beaucoup pour écrire le moindre nombre.

Pour écrire un nombre en chiffres romains, il faut décomposer ce nombre, en n'utilisant que les chiffres disponibles.

exemple : 322 = 100 +100 +100 + 10 + 10 + 1 + 1 = C C C X X I I

On ne peut pas placer 4 chiffres identiques l’un à côté de l’autre. Les 4 ou les 9 s'écrivent le chiffre supérieur moins une unité. Pour le chiffre des unités, on retire 1; pour celui des dizaines 10 et pour celui des centaines 100.

4 s’écrit 5 - 1 => IV

9 s’écrit 10 - 1 => IX

40 s’écrit 50 - 10 => XL

90 s’écrit 100 - 10 => XC

400 s’écrit 500 - 100 => CD

900 s’écrit 1000 - 100 => CM

Le nombre d'or

Le nombre d'or est un rapport précis grace auquel on peut construire, peindre, sculpter en enrichissant son oeuvre d'une force cachée.

La pyramide de Chéops, le temple de Salomon, le Parthénon et la plupart des églises romanes. Beaucoup de tableaux de la renaissance respectent eux aussi cette proportion.

On prétend que tout ce qui est bati sans respecter cette proportion finit par s'effondrer.

Le nombre d'or est un rapport précis a/b entre 2 longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire (a+b) / a = b / a.

Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x2 = x + 1, soit (1+√5)/2 = 1,6180335 (approx.).

Ce nombre se vérifie aussi dans la nature: le rapport d'écartement des feuilles des arbres afin d'éviter que mutuellement, elles ne se fassent de l'ombre. C'est aussi le rapport définissant l'emplacement du nombril par rapport à l'ensemble du corps humain.

à suivre...


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