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Nature Humaine
Théorie>Mathématiques

Première version: 30/04/2010
Dernière version: 2018-03-29

Mathématiques

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A quoi ça sert ?

La réalité est trop difficile à appréhender pour notre cerveau, il faut donc la modéliser pour mieux la comprendre, une fois modélisée on peut simplifier le modèle puis trouver les solutions qui permettent de donner le meilleur rendement au modèle, grâce à des outils mathématiques.

Les Mathématiques ne sont donc que des outils pour travailler sur une version modélisée de la réalité.

Les grands domaines des mathématiques

Il y a 2 grand domaines, la géométrie, une méthode visuelle, et l'algèbre, une méthode abstraite. La géométrie est plus facile pour les calculs faits par informatique, il y a moins de conditions aux limites à gérer.

Algèbre

C'est l'analyse des nombres. On regarde les nombres dont on dispose (pair-impairs, irrationnels, abondants), les fonctions qui modélisent un système, comment on peut les faire évoluer, la conservation des proportions ou les linéarisation, les surfaces dans des espaces, la façon dont on peut représenter les nombres, les nombres romains, les chiffres dits magiques dont on ne sait pas pourquoi ils reviennent très souvent (et dont l'analyse se rapportent pour certains à rechercher Dieu et ses mystères).

Trigonométrie

Remplacer Pi par 2Pi

source : https://fr.sott.net/article/32084-Pi-a-tout-faux-Nous-devrions-tous-celebrer-la-Journee-de-Tau

Un nombre sans doute plus élégant que Pi, égal à 2π : 6.28318... Parfois connu sous le nom de tau, ou le symbole τ, la quantité est égale à la circonférence d'un cercle divisé par son rayon et non par son diamètre.

La façon la plus simple de voir l'échec de pi est de considérer les angles, qui en mathématiques sont généralement mesurés en radians. Pi est le nombre de radians dans un demi-cercle, pas un cercle entier. Cela rend les choses confuses : par exemple, l'angle à la pointe d'une tranche de pizza - un huitième de tarte - n'est pas π/8, mais π/4. En revanche, en utilisant tau, l'angle d'une part d'1/8 ème de pizza est simplement τ/8. En d'autres termes, tau est le nombre de radians dans un cercle complet.

Ce facteur de deux est très important. La trigonométrie - l'étude des angles et des lignes que l'on retrouve dans des formes telles que les triangles - peut être un tourbillon confus pour les élèves, plein de nombres qui se branchent aveuglément dans les calculatrices. C'est particulièrement vrai lorsqu'il s'agit du sinus et du cosinus, deux fonctions importantes de la trigonométrie. De nombreux problèmes de trigonométrie impliquent le calcul du sinus ou du cosinus d'un angle. Lorsqu'elles sont représentées graphiquement, les deux fonctions ressemblent à une série d'ondulations, en forme de "S" sur le côté, qui répètent les mêmes valeurs tous les 2π. Cela signifie que pi ne couvre que la moitié d'un S. Tau, en revanche, en couvre la totalité, une mesure plus intuitive.

La trigonométrie est connue pour créer un fossé entre celui qui est bon en mathématique et celui qui a la phobie des mathématiques. Mais aider plus de gens à comprendre et à apprécier les mathématiques n'est pas une simple fantaisie. Tout le monde est capable de faire des maths. Nous devons simplement travailler plus intelligemment et parler plus clairement pour aider ceux qui ont des difficultés.

Statistiques

Quand on ne peut modéliser quelque chose parce que c'est trop complexe à maitriser tous les facteurs ou qu'il y a trop de choses à calculer (comme savoir comment va se comporter un volume d'eau de la taille d'un océan juste en calculant les chocs entre chaque molécules le composant), on peut utiliser l'outil statistique pour en tirer une prédiction approchant, ce n'est pas une valeur exacte qu'on va en tirer mais une valeur approchée, qui de temps en temps sera fausse mais la plupart du temps pas trop loin de la réalité, et sur la durée les prédictions seront assez justes.

Probabilité

La probabilité qu'un évènement se produise, cet évenement étant lié à quelque chose d'inconnu pour nous (par exemple le hasard), se calcule de la façon suivante :

P(A) = nombre de choix possible / nombre total d'emplacements

Par exemple, la probabilité de trouver une bille sous 3 pots opaques est de 1/3 si je ne peux retourner que 1 pot, 2/3 si je peux retourner 2 pots, et 3/3 (soit 1) si je peux retourner les 3 pots (c'est à dire que j'ai 100 % de chances de gagner).

Si je suis un filou, je vais profiter de cette connaissance pour lancer un jeu où je ne laisse les joueurs n'avoir droit qu'à un seul essai. Statistiquement, je vais gagner dans 2/3 des cas (l'opposé de celui du joueur). Même si 3 joueurs ont un gros coup de pot et découvrent la bille au premier essai, 7 autres ne vont pas découvrir la bille et au final c'est moi qui gagne. C'est le principe du loto, chaque tirage un gagnant, l'organisateur du loto! 100 % des perdants ont tenté leur chance!

Formule de Bayes

Sciences et Vie novembre 2012, p48

Formulation

Ecrite vers 1750, largement utilisée depuis 2000, elle peut s'appliquer à n'importe quel phénomène. Elle utilise les probabilité d'un évènement :

P(A|B) = P ( B / A ) P ( A ) P ( B )

avec

Cette formule sert à quantifier le lien entre l'évènement A (effet) et l'évènement B (cause). Si P(A|B) est faible, B à peu d'incidence sur A. Plus on emmagasine du savoir (les évènements B) plus on connait (ou du moins on peut prévoir) les évènements A.

Nombre d'observations

Les nombreuses observations sur l'évenement B nous permettent de connaitre sa probabilité, et pas la suite celle de A sachant B réalisé. Même si on n'a aucun modèle de A, la formule de Bayes permet de déterminer les causes influant sur A, donc les paramètres du modèle de A. En statistiques, les causes enchevêtrées sont appelées paramètres corrélés.

Les statistiques marchent très mal quand on n'a pas de mesures en quantité suffisantes.

Pour exemple, on a un phénomène complexe (évènement A) ne pouvant prendre que 2 valeurs (par exemple, il pleut (valeur 1) ou il ne pleut pas (valeur 0). Ce phénomène dépend de n paramètres (évènements B) que l'on ne connait pas. Il faut 2 exposants n (2*2*2*.. et cela n fois) observations successives pour faire apparaitre les causes.

Dans le cas d'un cancer (évènement soit on a le cancer, soit on ne l'a pas) dépendant de 100 gènes, il faudrait 2100 observations c'est à dire plusieurs milliers de milliards de milliards de milliards de patients atteints de ce cancer. C'est impossible.

Il faut donc au chercheur ne sélectionner que quelques paramètres plausibles, et construire avec ces quelques paramètres un modèle de l'évènement. Ou alors passer chaque paramètre dans la formule de Bayes pour déterminer le rôle de chacun dans l'évènement A.

Pour décrypter le réseau des causes du phénomène A, il suffit de mettre la formule elle-même en réseau : on aligne des centaines de formules de Bayes pour rendre compte des multiples causes d'un phénomène complexe.

Quand on ignore les causes d'un phénomène, on construit un modèle basé sur nos connaissances a priori de ce que pourraient en être les causes. On relie ces causes entre elles, comme les noeuds d'un réseau, en assignant à chacun des liens qui joignent les noeuds une probabilité a priori basée sur nos estimations ou celles d'experts. Dit d'une autre manière, chaque noeud du réseau (une cause estimée du phénomène) est relié à un autre via la formule de Bayles. Si la cause x dépend à 80 % de la cause y, mais que la cause x n'intervient qu'à 5% sur le phénomène, au final la cause y n'intervient qu'à 0.05*0.8=4% dans le phénomène.

Le modèle bayesien est traduit en programme informatique, il est alimenté par les données d'observation, les probabilités sont recalculées à chaque nouvelle observation et le modèle s'affine de plus en plus en plus au fur et à mesure de la collecte d'infos.

Ca nous permet de modéliser des phénomènes complexes, même lorsque les observations sont insuffisantes ou noyées dans du bruit parasite. C'est en quelque sorte une synthèses entre le dire des experts et les données brutes de l'observation, même lorsque les observations sont en nombre insuffisants ou noyées dans un fort bruit parasite. La connaissance comble la lacune des mesures. Elle ne nous parle pas du monde, mais de ce que nous en savons.

Exemples d'application

On peut ainsi montrer que la disparition des ours des cavernes est bien lié au dévelopement de l'homme, mais que c'est le climat qui est la cause de la disparition du boeuf musqué. Pour les prédictions de tsunamis, les modèles classiques ne peuvent qu'affirmer si oui ou non il y aura un tsunami, mais au prix d'une grosse récolte de donnée qui prends du temps (souvent finie quand le tsunami arrive). Les statistiques Bayesiennes permettent d'évaluer la probabilité de formation d'un tsunami au fur et à a mesure que les données sismiques arrivent, permettant de gagner quelques précieuses minutes (il peut n'y avoir que 5 minutes entre les premiers signes de séisme et le tsunami. Pour les maladies génétiques, il est possible de trouver les gènes ou combinaison de gènes à l'origine d'une augmentation du risque d'apparition.

Permet de faire le tri dans les différents modèles climatiques, de comprendre le raisonnement humain qui sans le savoir explorent et comprennent le monde en utilisant les propriétés Bayesiennes. C'est pourquoi elle pourrait aider dans l'intelligence artificielle (ce vieux rêve de remplacer des hommes pouvant se rebeller par des machines dociles).

à suivre...


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