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Théorie>Mathématiques>Algèbre>Base 6

Première version: 30/04/2010
Dernière version: 2018-04-20

Système en Base 6

Sommaire de la page


Préambule

Comme toutes les pages en base 6, je prends la convention suivante : Les chiffres arabes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) indiquent une base 10 et une norme SI. Les chiffres en base 6 sont notées avec les majuscules suivantes : D=1, F=2, J=3, K=4, L=5, D0=6, DD=7, etc. Le zéro 0 reste le même dans toutes les bases !

Le système decimal qui a été imposé de force lors des révolutions de 1800, portées par les Illuminatis Francs-Maçons, n'est pas le seul système de représentation des nombres ni même le plus judicieux. Il s'est imposé au niveau scientifique car il apportait en plus la numérotation positionnelle (chaque position d'écriture représente une puissance de la base). Cette écriture par position permet de rajouter un zéro ou de décaler la virgule facilement, mais n'est pas lié à la base 10, les anglais ou les américains utilisant encore d'autres anciennes bases.

Je vous propose de prendre du recul sur votre vision du monde et de voir ce que donnerait une écriture à l'aide de 6 chiffres au lieu de 10 comme actuellement, et pourquoi pendant 6000 ans c'est le système base 6 (ou son corollaire le système base 12) qui a prévalu par sa simplicité à partager les choses.

Principe

Dans le système décimal, on utilise des paquets avec 10 chiffres dedans. Dès que les 10 chiffres sont atteints (qu'il n'y a plus d'autres symboles), on passe au paquet supérieur (dizaine supérieure).

Ex : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 est la première dizaine, 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 est la 2 ème dizaine, et ainsi de suite.

Le système base 6 c'est exactement la même chose, sauf que les paquets sont divisés en 6 au lieu de 10. On parle donc de sizaines au lieu de dizaines.

On utilise les chiffres 0 à 5 dans un paquet (0 à L exprimé en lettres majuscules), puis on passe au paquet supérieur dès qu'on dépasse 6, 6 écrit sous la forme "10" (D0 écrit en lettres, une sizaine finie donc mise en retenue, + 0 quantité issue de la sizaine supérieure). Pour ne pas confondre les 2 systèmes, j'utilise les lettres majuscules au lieu des chiffres arabes comme précisé en préambule.

Ex : D,F,J,K,L,D0 est la première sizaine, DD,DF,DJ,DK,DL,F0 est la 2 ème sizaine, et ainsi de suite.

Utiliser 6 chiffres au lieu de 7 ("D0" au lieu de "J")

On aurait pu remplacer "D0" (1 sizaine + 0), le dernier chiffre d'une sizaine, par "J", ce qui nous aurait fait utiliser 7 lettres majuscules (0,D,F,J,K,L,J) au lieu de 6 (0,D,F,J,K,L).

Ainsi, au lieu de 0,D,F,J,K,L,D0 (1ère sizaine) puis DD,DF,DJ,DK,DL,F0 (2ème sizaine remplie) on aurait écrit 0,D,F,J,K,L,J (1ère sizaine) puis DD,DF,DJ,DK,DL,DJ (2ème sizaine remplie), ce qui aurait permis de mieux comprendre que J fait partie du premier paquet, et n'est pas un nombre attribué au paquet supérieur (on a tendance à croire que D0 fait partie de la même sizaine que DD, alors que D0 fait partie de la sizaine du L).

D0 fait partie de la première sizaine bien qu'il ai 2 chiffre, F0 fait partie de la 2ème sizaine bien qu'il commence par F au contraire des nombres de la même dizaine comme DL.

C'est la même ambiguité pour le système décimal, "10" avec ses 2 chiffres représente un nombre valant 10 faisant partie de la première dizaine (nombres représentés par un seul chiffre)). Les mathématiciens ont considérés qu'une fois la sizaine complète, on la mettait en retenue. Il suffit de se mettre ça dans la tête.

De plus, écrire "J" au lieu de "D0" ça faisait créer un symbole (le "J") et un phonème supplémentaire, et le symbole "0" n'était quasi jamais utilisé. C'est pourquoi les hommes ont préféré créer un symbole de moins et écrire "dernier chiffre du paquet" = "zéro du paquet suivant", ce qui mathématiquement est valide, même si beaucoup zappent cette subtilité lors de l'apprentissage et auront du mal en maths plus tard.

Avantages de la base 6

6 est le produit des deux premiers nombres premiers, à savoir 2 et 3. Divisible par les 3 premiers nombres (1,2,3). Ceci produit beaucoup de fraction senaires simples. 6 est donc divisible par ces 2 nombres (2 et 3) se rencontrant souvent dans la vie quotidienne (eux et leurs multiples), alors que le système décimal ne se divise que par 2 et 5 (le 3 ne tombe jamais juste, et le 5 est moins couramment rencontré).

12 est abondant, c'est à dire qu'il n'y a pas besoin d'autant de diviseurs possibles, sachant qu'ils ne sont pas tous premiers.

Plus la base est élevée, plus il y a de divisions de l'unité, ce qui est inutile. Il est plus compréhensible d'avoir plusieurs niveaux de divisions (5 heures 4 minutes et 2 secondes) que un seul niveau avec des divisions trop nombreuses (0.754585 journées).

6 est le premier nombre parfait, c'est à dire qu'il est divisible par 1, par 2 et par 3, que des nombres premiers. Et la somme de ces trois nombres ( 1 + 2 + 3) est égale au nombre initial 6.

6 est un chiffre triangulaires et hexagonal.

Le chiffre pi, en senaire, est celui qui est le plus proche de 3 : 3.1415926 devient J.0L0JJ00.

Les tensions de batterie en sénaire donne des chiffres ronds et multiples de F0 (12). 12 V = F0 V, 24 V = K0 V, etc.

Il est plus physiologique de diviser des parts de cercles en 6 qu'en 10 (trop de précision inutile et compliquée), tombe sur des nombres entiers pour les unités de la nature (jours de la Lune, jours de l'année, retombe sur le même nombre d'heures qu'actuellement, décomposition du cercle plus simple, sans compter que ce n'est pas pour rien qu'une horloge analogique est divisée en 12 (2*6) plutôt qu'en 10 : on retrouve la division en 4 (4 angles de 90°) et ces angles droit sont ensuite divisés en 3.

Généralement il y a moins de 6 ordres dans la nature (4 ordres minéral, végétal, animal, humain, les dimensions de l'espace-temps seulement 4 dimensions, etc.).

Proportionnellement, 6 a plus de diviseurs que le nombre 10 (donc en partageant quelque chose on aura plus souvent un nombre entier, voir le chiffre Pi qui est le plus proche de 3 dans la base 6 que n'importe quelle autre base) et en utilisant son double (F0 = 12 en décimal) on a les avantages prônés par ceux qui voudraient adopter la base 12 (mais qui est pire question subdivisions de l'unité, je ne parle pas de la base 60).

Au lieu de faire des proportions sur 100 en décimal (le pourcent) on a des proportions en pour F0 (12 en décimal, nombre abondant donc avec beaucoup de diviseurs donnant un entier), plus adaptées à la plupart des situations. Comparé à la base 10, la taille des gros chiffres reste contenue (environ 40% plus gros). Par le petit nombre de chiffres, les tables de multiplication sont plus faciles à apprendre car moins nombreuses et plus courtes.

Calcul sur les doigts

Pour le calcul sur les doigts, il suffit de compter les phalanges avec le pouce. Le pouce de la main droite défile sur les 3 phalanges des 4 autres doigts, soit 12 phalanges : on compte ainsi de 1 à 12.

Ensuite, on utilise les doigts de la main gauche pour les retenues (compter le nombre de sizaines ou de douzaines calculées). Le pouce, en opposition à l'un des 4 autres doigts, placé sur une phalange, permet de compter de 1 à 12 douzaines.

Avec les deux mains, en mémorisant main gauche les paquets de 12 + 12 sur la main droite, on compte ainsi jusqu'à (3 phalanges main gauche × 4 doigts main gauche × 12 phalanges main droite) + 12 phalanges main droite = 156 = KF0.

Pour rappel, on peut seulement compter jusqu'à 10 avec tous les doigts des 2 mains avec le système décimal...

Caractéristiques de la base 6

Six est le produit des 2 premiers nombres premiers et est adjacent aux nombres premiers suivants (nombres premiers numéro 3 et 4, à savoir 5 et 7).

Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal).

Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4 — sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 0 et 3 — divisibles par 3 (de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4, 6, 8 sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 0 et 5 — divisibles par 5).

Dit autrement, en base 6, seuls les nombres finissant par 5 ne se divisent pas (en décimal, les nombres se divisant par 3 et 7).

Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en base 6 que par 1 ou 5 (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).

Le produit de 4 nombres consécutifs est divisible par 24 (4*6).

Convertir un nombre base 10 vers un nombre base 6

Soit X le nombre base 10 à convertir en base 6. Algorithme de conversion :

Exemple : conversion du nombre 3257 en base 6.

3257 / 6 = 542,8333... Le résultat est un nombre non entier, Y le résultat de cette division est 542, on trouve le reste de la division en multipliant 542 par 6, ce qui donne 3252, puis on regarde combien il nous manque pour atteindre le chiffre 3257 : 3257 - 3252 = 5, il faut donc rajouter 5 (R, le reste de la division de 3257 par 6) pour obtenir 3257 à partir de Y = 3252.

Si on regarde les calculs ci-dessus, les dernier résultat Y = 2, les restes R en partant du dernier sont 3, 0, 2, 5. L'écriture de 3257 en base 6 est donc 23025 (FJ0FL), ce qui s'écrit aussi 3257 = FJ0FL.

Convertir un nombre base 6 en base 10

Faisons maintenant l'inverse du paragraphe précédent.

Soit X le nombre en base 6 à convertir. Pour tout chiffre c de rang r dans X, on calcule c× 6r. La représentation de X en base 10 est la somme de tous les produits.

Le comptage de r commence à zéro de la droite vers la gauche.

Exemple : Le nombre D00 000 en base 6 s'écrit en base 10 de la façon suivante (en prenant 60 = 1, 61 = 6, 62 = 36, 63 = 216, 64 = 1296, 65 = 7776, etc.) :

D×7776 + 0*1296 + 0×216 + 0×36 + 0×6 + 0×1 = 7776 (base 10)

D00 000 = 777610.

Outil informatique de conversion

En ligne de commande, on peut utiliser la calculatrice "bc" présent de base sur tous les linux, qui permet de faire des calculs en base 6 ou de convertir.

$ echo 'ibase=6;obase=10;44' | bc

Fonctionnement expliqué dans cette page. On peut aussi taper "bc" en ligne de commande, et taper des instructions de calculs, puis "quit" pour sortir. Attention, on ne peut changer qu'une fois les bases, ensuite un bug conserve la première modif tout le temps, il vaut mieux ouvrir 2 fenêtres de terminal.

ibase donne la base dans laquelle on écrit les nombres entrés, obase est la base dans laquelle bc écrira le résultat affiché à l'écran. "scale" permet de définir le nombre de virgules après la virgule.

Ex d'utilisation typique : Lancer le terminal, taper bc +enter, taper "scale=3"+enter.

Pour convertir de base 10 à 6, taper obase=6+enter, puis taper 10+enter, l'écran affiche 10 en base 6, à savoir 14. On remplace ensuite les chiffres arabes par les lettres de l'adam pour obtenir 10 base 10 = DK base 6 adam. Si on tape 20+16, bc nous affiche 100, à savoir la conversion du résultat du calcul de 20+16 = 36 en base 10, 100 en base 6.

Pour convertir de base 6 en base 10, on rouvre de nouveau une fenêtre de terminal, scale=3, ibase = 6. Si on prends DK, on le convertit en chiffre arabe ce qui donne 14, on tape 14+entre et bc affiche le résultat de la conversion, à savoir 10 en base 10.

Passer d'une échelle 100 à une échelle D00

Il y a beaucoup d'échelles en base 100, comme la température en Celsius, les pourcentages, etc. Le mieux dans ces cas là est de garder le chiffre D00 en base 6, qui permet d'utiliser les préfixes kilo, cent, etc. Par contre, chaque pas de D00 n'a plus que 36 subdivisions au lieu de 100 en base 10. Souvent ça permet d'y gagner en clarté (il y a trop de subdivisions non significatives).

Ce qui donne l'équivalence D° = 100/36 = 2.777...° ou encore 1° échelle 100 = 36/100 = 0.36° échelle 36 = 0.F0K°.

Echelle 100 en base 10

Je vais écrire les chiffres en base 10 à fin de comparaison, puis je donnerais ensuite l'équivalence en base 6 dans le paragraphe suivant.

100 graduations sont divisibles par les nombres premiers 2, 5, mais aussi par 4, 10, 20, 25, 50.
36 graduations sont divisibles par les nombres premiers 2, 3, 9 mais aussi par 4, 6, 12, 18.

Divisions courantes de 100 :

Divisions courantes de 36 :

Echelle 100 en base 6

D00 graduations sont divisibles par les nombres F, J, K, D0, DJ, F0, J0.

Divisions courantes de D00 :

Tables de calculs en base 6

Les 50 premiers nombres

base 6

D

F

J

K

L

D0

DD

DF

DJ

DK

base 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

base 6

DL

F0

FD

FF

FJ

FK

FL

J0

JD

JF

base 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

base 6

JJ

JK

JL

K0

KD

KF

KJ

KK

KL

L0

base 10

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

base 6

LD

LF

LJ

LK

LL

D00

D0D

D0F

D0J

D0K

base 10

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

base 6

D0L

DD0

DDD

DDF

DDJ

DDK

DDL

DF0

DFD

DFF

base 10

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Quelques points de repère par rapport au décimal

base 10

1

2

3

4

5

6

7

12

18

24

36

base 6

D

F

J

K

L

D0

DD

F0

J0

K0

D00

base 10

42

72

108

144

216

432

648

777

864

1296

2592

base 6

DD0

F00

J00

K00

D000

F000

J000

JJJJ

K000

D0000

F0000

Fractions et divisibilité

Décimal

Sénaire

1/2 = 0,5

D/F = 0,J

1/3 = 0,33 répétition

D/J = 0,D

1/4 = 0,25

D/K = 0,DJ

1/5 = 0,2

D/L = 0,DD répétition

1/6 = 0,166 répétition

D/D0 = 0,D

1/7 = 0,142857142857 répétition

D/DD = 0,0L0L répétition

1/8 = 0,125

D/DF = 0,0KJ

1/9 = 0,11

D/DJ = 0,0K

1/10 = 0,1

D/DK = 0,0JJ répétition

1/11 = 0,0909 répétition

D/DL = 0,0JDJKLFKFD0JDJKLFKFD répétition

1/12 = 0,0833

D/F0 = 0,0J

1/14 = 0,0714285714285 répétition

D/FF = 0,0FJFJ répétition

1/15 = 0,066 répétition

D/FJ = 0,0FF répétition

1/16 = 0,0625

D/FK = 0,0FDJ

Table de multiplication

×

0

D

F

J

K

L

D0

0

0

0

0

0

0

0

0

D

0

D

F

J

K

L

D0

F

0

F

K

D0

DF

DK

F0

J

0

J

D0

DJ

F0

FJ

J0

K

0

K

DF

F0

FK

JF

K0

L

0

L

DK

FJ

JF

KD

L0

D0

0

D0

F0

J0

K0

L0

D00

Table d'addition

+

0

D

F

J

K

L

D0

0

0

D

F

J

K

L

D0

D

D

F

J

K

L

D0

DD

F

F

J

K

L

D0

DD

DF

J

J

K

L

D0

DD

DF

DJ

K

K

L

D0

DD

DF

DJ

DK

L

L

D0

DD

DF

DJ

DK

DL

D0

D0

DD

DF

DJ

DK

DL

F0

Table de soustraction

-

0

D

F

J

K

L

D0

0

0

-D

-F

-J

-K

-L

-D0

D

D

0

-D

-F

-J

-K

-L

F

F

D

0

-D

-F

-J

-K

J

J

F

D

0

-D

-F

-J

K

K

J

F

D

0

-D

-F

L

L

K

J

F

D

0

-D

D0

D0

L

K

J

F

D

0

Table de division

/

0

D

F

J

K

L

D0

0

?

0

0

0

0

0

0

D

?

D

0.J

0.DLL

0.DJ

0.DDD

0.0LK

F

?

F

D

0.JLK

0.J

0.FFF

0.DLL

J

?

J

D.J

D

0.KJ

0.JJJ

0.J

K

?

K

F

D.DLL

D

0.KKK

0.JLK

L

?

L

F

D.JLK

D.DJ

D

0.KLL

D0

?

D0

J

F

D.J

D.DDD

D

Pour en savoir plus...

Convertir des nombres base 10 en base 6 et inversement : http://wims.unice.fr/wims/fr_tool~number~baseconv.fr.html

à suivre...


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